1) De
termine o 61º termo da PA (9,13,17,21...):
a1=9
a2=13
r=?
a61=?
Como temos a1 e a2 podemos encontrar r:
a2=a1+r
13=9+r
13-9=r
r=4
Agora substituindo na fórmula do termo geral an=a1+(n-1).r , temos:
a61=9+(61-1).4
a61=9+(60).4
a61=9+240
a61=249
2) Determinar o número de termos da PA (4,7,10,....,136)
a1=4
a2=7
an=136
r=?
n=?
O primeiro passo é encontrar a razão ,depois é só substituir na fórmula do termo geral e encontrar n:
a2=a1+r
7=4+r
7-4=r
r=3
Substituindo:
an=a1+(n-1).r
136=4+(n-1).3
136=4+3n-3
136+3-4=3n
135=3n
n=135/3
n=45
3) (ITA/200) O valor de n que torna a seqüência (2+3n,-5n,1-4n) uma PA pertence ao intervalo:
a) [-2,-1]
b) [-1,0]
c) [0,1]
d) [1,3]
e) [2,3]
a1=2+3n
a2=-5n
a3=1-4n
Para que a seqüência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação de definição de PA):
a2=a1+r
-5n=2+3n+r
-5n-3n-2=r
r=-8n-2 e
a3=a2+r
1-4n=-5n+r
1-4n+5n=r
r=1+n
Determinando o valor de r:
-8n-2=1+n
-8n-n=1+2
-9n=3
n=3/-9
n=-1/3
Logo a resposta correta é a alternativa b.
4) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187.Qual a soma dos trinta primeiros termos:
a1=100
a30=187
n=30
s30=?
Aplicando a fórmula da soma S_n=(a_1+a_n).n/2 temos:
s30=(100+187).30/2
s30=(287).15
s30=4305
5) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
a1=21
r=7
a12=?
n=12
s12=?
Calculando a12 utilizando a fórmula do termo geral an=a1+(n-1).r temos:
a12=21+(12-1).7
a12=21+(11).7
a12=21+77
a12=98
Agora é só substituir na fórmula da soma sn=(a1+an).n/2
s12=(21+98).12/2
s12=(119).6
s12=714
6) Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. ( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
Sn=(16n – 2n2) / 10
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
7) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
Ora, se x + 1, 2x , x^2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x^2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x^2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x^2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x^2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas.
8) UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.
Logo, teremos a seguinte seqüência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.
Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
A soma procurada será igual ao resultado anterior mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60.
4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1
5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60
Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60
Subtraindo membro a membro as duas expressões, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.
Substituindo numa das equações acima, vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.
Logo, o centésimo termo será:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965
7- Determinar o déscimo segundo termo da P.A. (3,5,7,...).
\(a_1=3\)
n=12
\(a_{12}= ?\)
Calculamos a razão:
r=5-3
r=2
Substituímos estes valores na fórmula do termo geral :
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(a_{12}=3+(12-1)2\)
\(a_{12}=25\)
8 - Determinar o primeiro termo de uma P.A. em que o vigésimo termo é igual a 99 e a razão é igual a 5.
\(a_{20}=99\)
n=20
r=5
\(a_1= ?\)
Substituímos esses valores na fórmula do termo geral:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(99= a_1+(20-1)5\)
\( 99=a_1+95\)
\(a_1=4\)
9 - Calcular a razão de uma P.A., sabendo que o primeiro termo é o triplo da razão e que \(a_{23}=50\).
\(a_{23}=50\)
n=23
\(a_1=3r\)
r= ?
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(50=3r+(23-1)r\)
\(50=3r+22r\)
\(50=25r\)
\(r=2\)
10 - Sabendo que \((x+1)\),\((3x-2)\),\((2x+4)\) formam, nessa ordem, uma P.A., calcular o valor de x e a razão dessa P.A.
\(P.A. (x+1,3x-2,2x+4)\)
Sabendo que numa P.A. a diferença entre um termo, a partir do segundo, e o seu antecessor é sempre constante, podemos montar a seguinte equação:
\((2x+4)-(3x-2)=(3x-2)-(x+1)\)
\(2x+4-3x+2=3x-2-x-1\)
\(-x+6=2x-3\)
\(-x-2x=-3-6\) (-1)
\(3x=9\)
\(x=3\)
Para determinar a razão, basta substituir x por 3 na sequencia inicial e efetuar a diferença entre um termo e seu anterior.
\((x+1)\),\((3x-2)\),\((2x+4)\)
\((3+1)\),\((3(3)-2)\),\((2(3)+4)\)
4,7,10
Logo, r=7-4 = 3
1) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por \(S_n=n^2+2n\). O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25
- Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo \((a_1)\) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.
- À primeira vista você pode achar que se substituirmos \(n\) por 13 teremos o valor do 13o
termo. Estamos enganados. Então:
- O que devemos fazer é substituir primeiro \(n\) por 1, isso dá
\(S_1=12+2(1)\)
\(S_1=3\)
- Como S1 significa a soma de todos os termos até \(a_1\), ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele \((a_1=3)\)
- Se substituirmos \(n\) por 2, temos:
\(S_2=22+2(2)\)
\(S_2=8\)
- S2 significa a soma de todos os termos até \(a_2\), então é igual à \(a_1+a_2\).
Como já sabemos o valor de a1, logo:
\(S_2=a_1+a_2=8\)
\(3+a_2=8\)
\(a_2=5\)
Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
\(a_{13}=3+(13-1)2\)
\(a_{13}=3+24\)
\(a_{13}=27\)
Resposta certa letra "C"
2) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
- Informações do problema:
\(a_1=112 a_n=250 r=23\)
- Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:
- A alternativa "E" parece ser a alternativa correta, mas 7 não é a resposta, é o número total de termos.
Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.
Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.
A resposta certa é a letra "C"
3) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é:
(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76
- Informações do problema:
\( a_7=20 a_{10}=32 a_{20}=?\)
- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:
\(a_7=a_1+6r a_{10}=a_1 + 9_r\)
\(20=a_1+6r 32=a_1 + 9_r\)
- Formamos um sistema de equações e resolvemos:
\(20=a_1+6r\)
\(32=a_1+9r\)
Vamos isolar o termo \(a_1\) na primeira equação
\(a_1=20-6r\)
Agora vamos substituir este valor na segunda equação
\(32=20-6r+9r\)
\(32-20=9r-6r\)
\(12=3r\)
\(r=12/3\)
\(r=4\)
Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do \(a_1\).
\(20=a_1+6*4\)
\(20=a_1+24\)
\(a_1=-24+20\)
\(a_1= -4\)
Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pede o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.
\(a_{20}=a_1+19r\)
\(a_{20}=-4+19*4\)
\(a_{20}=-4+19*4\)
\(a_20=72\)
Resposta certa letra "C".
1) Dados a5=100 e r=10 , calcule o primeiro termo:
a5=100
n=5
r=10
a1=?
a5=a1+(5-1).r
100=a1+(4).10
100=a1+40
100-40=a1
a1=60
1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:
\( a_1=5 \) \( r=11 \) \( a_{13}=? \)
- Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde \( a_n \) será o \( a_{13} \), portanto \( n=13 \).
Agora, substituindo:
\[\begin{aligned}
a_{13} = 5 + (13 - 1) * 11 \\
a_{13} = 5 + (12 * 11) \\
a_{13} = 5 + 132 \\
a_{13} = 137 \\
\end{aligned}\]
2) Sendo \( a_7 = 21 \) e \( a_9 = 27 \) , calcule o valor da razão: \( a_7 = a_1 + (7 - 1)r \)
Substituindo pelos valores
\[\begin{aligned}
21 = a_1 + 6r \\
a_9 = a_1 + (9 - 1)r \\
\end{aligned}\]
Substituindo pelos valores \(27 = a_1 + 8r \)
Note que temos duas incógnitas ( \(a_1\) e \(r\) ) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações.
Vamos isolar o \(a_1\) na primeira equação e substituir na segunda: \( a_1 = 21 - 6r \)
Agora, substituindo na segunda:
\[\begin{aligned}
27 = (21 - 6r) + 8r \\
27 = 21 + 2r\\
27 - 21 = 2r\\
6 = 2r\\
\frac{6}{2} = r\\
r=3
\end{aligned}\]
3) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a
- informações do problema: \( a1 = 23; r = -6; a_n = -13; n = ? \)
- Substituindo na fórmula do termo geral:
\[\begin{aligned}
a_n = a_1 + (n-1)r \\
-13 = 23 + (n - 1)(-6) \\
-13 - 23 = -6n + 6 \\
-36 - 6 = -6n \\
-42 = -6n \\
\end{aligned}\]
Vamos multiplicar os dois lados por (\(-1\))
\[\begin{aligned}
6n = 42 \\
n = \frac{42}{6} \\
n=7 \\
\end{aligned}\]
Resposta certa letra "B"
4) (UCS) O valor de x para que a sequência \( (2x, x+1, 3x) \) seja uma PA é:
(A) \( \frac{1}{2} \)
(B) \( \frac{2}{3} \)
(C) 3
(D) \( \frac{1}{2} \)
(E) 2
- Informações: \( a_1 = 2x; a_2 = x+1; a_3 = 3x \)
- Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da
frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:
\[\begin{aligned}
a_2 = a1 + r \\
r = a_2 - a1 \\
a_3 = a_2 + r \\
r = a_3 - a_2
\end{aligned}\]
- Como temos \(r\) igualado nas duas equações, podemos igualar uma a outra, ou seja:
\( a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \)
- Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:
\[\begin{aligned}
6n = 42 \\
(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1) \\
x + 1 - 2x = 3x - x - 1 \\
x - 2x - 3x + x= -1 - 1 \\
-3x = -2 \\
\end{aligned}\]
Multiplicando ambos os lados por (-1)
\[\begin{aligned}
3x = 2 \\
x = \frac{2}{3} \\
\end{aligned}\]
Resposta certa letra "B"
muito bom esse questionário
ResponderExcluirah
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