Bem Vindooooooos!

Olá pessoal!

Somos Alessandro, Caroline, Daniana, Élder, Joifer, Thailise e Tiago, acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do Sul.

Criamos este blog como atividade da Prática Pedagógica que consiste na realização de um projeto de aprendizagem sobre Progressão Aritmética (P.A.) da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral III, auxiliados pela Profa. Isolda.



Ao longo da vida, estamos o tempo todo rodeados de fenômenos da natureza e, se prestarmos um pouco de atenção, vai nos surpreender com sua regularidade. Sendo o objeto da Matemática justamente o estudo dessa regularidade, à medida que se constata haver um padrão de comportamento comum a diferentes situações fenomênicas, a pesquisa é desenvolvida e as descobertas ampliadas. Sendo assim, esses padrões se transformam em representações numéricas, que são a expressão da Matemática.
Por exemplo, pode se observar o formato das flores, a quantidade de pétalas, o desenho que aparece nas frutas quando são cortadas transversais ou longitudinais. Conclui-se que há uma disposição tão perfeitamente simétrica que não conseguirá ficar indiferente. Ai surge a sequência de Fibonacci.
Fibonacci foi o nome com o qual o matemático Leonardo Pisano ficou conhecido. Ele contribuiu para o desenvolvimento da Matemática em diversas pesquisas, como sistematização dos algarismos arábicos, a publicação do Livro do Ábaco e a descoberta da sequência de Fibonacci.
A sequência de Fibonacci consiste em uma sequência de números que começa por 0 e 1 sendo, daí por diante, cada número determinado pela soma dos dois anteriores.

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...

Isso nos mostra como é o comportamento de uma Progressão Aritmética, que trataremos neste blog, buscando desenvolver conceitos, exemplos, que facilitem o aprendizado.




.... NUNCA DISCUTA COM UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA...
... ELA SEMPRE TEM RAZÃO!!!

terça-feira, 30 de novembro de 2010

Observações que podem facilitar a resolução de problemas de P.A.

1ª Observação
É sempre conveniente colocar os termos em função de \(a_1\) e r, lembrando que:
 \(a_2=a_1+r\);  \(a_3=a_1+2r\);  \(a_4=a_1+3r\);...;  \(a_{10}=a_1+9r\) e assim por diante

Exemplo: Numa P.A.,  \(a_2+a_6=20\) e  \(a_4+a_9=35\). Escrever a P.A.
Resolução: Vamos escrever os dados em função de  \(a_1\) e r:
 \(a_2=a_1+r\)
 \(a_6=a_1+5r\)
 \(a_4=a_1+3r\)
 \(a_9=a_1+8r\)
Assim podemos formar o sistema com duas variáveis:
 \((a_1+r)+(a_1+5)=20\) -------- \(2a_1+6r=20\)
 \((a_1+3r)+(a_1+8r)=35\) -----  \(2a_1+11r=35\)
Resolvendo o sistema encontramos r=3. E substituindo o valor r encontrado em uma das funções acima encontramos  \(a_1\):
 \(2a_1+6r=20\)
 \(2a_1+6(3)=20\)
 \(2a_1=2\)
 \(a_1=1\)
Resposta: logo a P.A. pedida é (1, 4, 7, ...)

2ª Observação
Quando os problemas tratarem de soma ou produto de termos consecutivos de uma p.A., é conveniente escrever a P.A em função do termo do meio, que indicaremos por x.
Assim:
* se a P.A. tem 3 termos, vamos indicá-los por:  \((x-r, x, x+r)\);
* se a P.A. tem 5 termos, vamos indicá-los por:  \((x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)\);
* se a P.A. tem 4 termos, vamos indicá-los por:  \((x-3r, x-r, x+r, x+3r)\);

Exemplo: Três números estão em P.A., de tal forma que a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular os três números.
Resolução: Vamos indicar nossa P.A por  \((x-r, x, x+r)\)
1º termo= x-r; 2º termo= x; 3º termo= x+r
Podemos formar o sistema com duas variáveis (x e r)
 \((x-r) + x + (x+r)= 18\)
 \((x-r) (x) (x+r)= 66\)
Resolvendo a primeira equação do sistema, temos:
 \((x-r) + x + (x+r)= 18\)
 \(3x=18\)
 \(x=6\)
E substituindo o valor encontrado para x na segunda equação do sistema, temos:
 \((x-r) (x) (x+r)= 66\)
 \((6-r) (6) (6+r)=66\)
 \(6(36-r^2)=66\)
 \(r^2=25\)
 \(r=±5\)
Sendo r=5                                        Sendo r=-5
1º termo = 6-5=1                             1º termo = 6-(-5)=11
2º termo = 6                                     2º termo = 6
3º termo = 6+5=11                          3º termo = 6+(-5)=1
Resposta: Os números pedidos são 1, 5 e 11.

Proposta de Avaliação!

    1) Qual é o 1° termo de uma PA em que \(a_{10}= 39\) e \(r=4\)?

    2) Escreva uma P.A de 6 termos em que \(a_1= -3\) e \(r=5\).

    3) Escreva uma P.A de 4 termos em que \(a_1= a+2\) e \(r=a\).

    4) A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1° termo dessa PA é 2, calcule a razão r da PA.

    5) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por \(x+1\), \(2x\), \(x^2-5\) e estão em P.A nessa ordem. calcule o perímetro do triângulo.

    6) Numa Progressão Aritmética o primeiro e o segundo termos são, respectivamente, iguais a 6 e 8. Calcule a soma dos 20 termos consecutivos da progressão a partir do 7° termo (inclusive).

    7) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos?

    8) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.

    9) Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300.

    10) Se \(x=(1+3+...+49)\) é a soma dos ímpares de 1 a 49 e se \(y=(2+4+...+50)\) é a soma dos pares de 2 a 50, calcule \(x-y\).

segunda-feira, 29 de novembro de 2010

Atividades de aprendizagem classificadas em níveis: baixo, médio e alto

    1) Escreva uma P.A de 8 termos em que \(a_1=6\) e \(r=-4\)
    Para começar temos os seguintes dados:
    \(a_1=6\)
    \(r=-4\)
    E para calcular o segundo termo basta somar o nosso primeiro termo e a razão r  da P.A dada:
    \(a_2=a_1+r\)
    \(a_2=6+(-4)\)
    \(a_2=2\)
     Dessa forma, conseguiremos calcular os próximos 8 termos dessa P.A
    Logo, a nossa P.A será: P.A (6, 2, -2, -6, -10, -14, -18, -22)
         2) Encontre o termo geral da P.A. (2,7,...).
    À partir da P.A dada temos os seguintes dados:
    \(a_1=2\)
    \(a_2=7\)
    \(r=a_2-a_1\)
    \(r=7-2\)
    r=5
    Agora é só aplicar os dados do problema na fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(a_{n}=2+(n-1)5\)
    \(a_{n}=2+5n-5\)
    \(a_{n}=5n-3\)
    Logo, \(a_{n}=5n-3.\)
         3) Numa P.A \(a_4=12\) e \(a_9=27\).Calcule \(a_{3.}\)
     Dos dados que temos, podemos pensar em obter uma P.A em que o nosso a₁ seja o que a quastão nos propõe como \(a_4\) e o \(a_9\) sendo o nosso último termo dessa nova P.A. assim, encontraremos a razão dessa progressão:
    P.A (12, __,__,...,27)
    Com essa nova P.A., temos os seguintes dados:
    \(a_1=12\)
    \(a_6=27\)
    \(n=6\)
    Com esses dados, podemos substituí-los na fórmula do termo geral e encontrar a razão r:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(27=12+(6-1)r\)
    \(15=5r\)
    \(r=3\)
    Assim, a razão da nova P.A é r=3, o que de modo análogo será o mesmo que a P.A inicial.
    De tal forma, voltando à P.A inicial e tendo os termos \(a_4=12\) e\( r=3\), podemos assim calcular o termo a₃:
    \(a_4=a_3+r\)
    \(12=a_3+3\)
    \(a_3=9\)
    Logo, obtemos \(a_3=9.\)
     Obs.: este cálculo poderia também ser mostrado através das Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
         4) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?
    O exercício nos dá uma P.A. no seguinte formato:
    P.A.(2,__,__,__,__,__,...,66)
    Dessa P.A e do exercício temos os dados abaixo:
    r=8
   \(a_1=2\)
   \( a_{n}=66\)
    O que temos que calcular é o n,ou seja, o número de termos entre 2 e 66, podendo isso se calculado pela fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
   \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(66=2+(n-1)8\)
    \(66-2=8n-8\)
    \(64-8=8n\)
   \(n=((56)/8)\)
    \(n=7\)
    Logo, sabemos que a nossa P.A. tem 7 termos, porém o que queremos saber são quantos meios existem entre 2 e 66, assim :
    n=7-2
    n=5
         5) Ache três números em P.A crescente sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
    Primeiramente vamos indicar nossa P.A.:
    \(P.A. (x-r,x,x+r)\)
    Obs.: Para sabermos que a nossa P.A é desse formato basta pensarmos nas Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
    Assim, tendo a P.A e os dados do problemas, podemos formar um sistema, onde:
    \((x-r)+x+(x+r)=15\)  ------ \(3x=15\)
    \((x-r)x(x+r)=105\)  ---------- \(x(x^2-r^2)=105\)
    Resolvendo a primeira parte do sistema, temos:
   \(3x=15\)
    \(x=5\)
    Sabendo que \(x=5\), conseguimos resolver a segunda parte do sistema:
    \(x(x^2-r^2)=105\)
    \(5(5^2-r^2)=105\)
    \(5(25-r^2)=105\)
    \(25-r^2=21\)
    \(25-21=r^2\)
    \(r^2=4\)
    \(r=±2\)
     Agora vamos verificar para quais valores de r obtemos uma P.A. crescente:
    Sendo r=+2                                       Sendo r=-2
    1º termo = x-r=6-(+2)=4              1º termo = x-r=6-(-2)=8  
    2º termo = x=6                                   2º termo = x=6
    3º termo = x+r=6+(+2)=8              3º termo = x+r=6+(+2)=8
    P.A.(4, 6, 8)                                          P.A.(8, 6, 4)
     Assim verificado temos que a P.A de termos crescentes pedida onde sua soma é 15 e seu produto é 105 é:
    P.A.(4, 6, 8)
         6) Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro?
    Primeiramente podemos pensar no que cada um desses dados está se referindo dentro de uma Progressão Aritmética. assim podemos começar a escrevê-la:
    Os termos de nossa P.A. são as linhas escritas em cada dia, assim \(a_1=20\)
    A razão é 5 devido à cada dia escrever o número de linhas do dia anterior mais 5, assim \(r=5\)
    Logo podemos pensar na P.A da seguinte maneira:
    \(P.A.(20, 25,30,...)\)
    Sabendo que o livro tem 17 página e cada página com 25 linha, sabemos o total de linhas do livro, que atribuiremos de \(S_{n}=17×25\) ---- \(S_{n}=425\).
    Assim temos:
    \(a_1=20\)
    \(r=5\)
    \(S_{n}=425\)
    Como querenos encontrar o n, que será o número de dias, e tendo \(a_1\) e r, substituímos na fórmula do termo geral:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(a_{n}=20+(n-1)5\)
    \(a_{n}=20+5-n-5\)
    \(a_{n}=5-n+15\)
    Dessa fórmula ainda não conseguimos sabeo o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro, logo, tendo \(S_{n}=425\), subtituimos o valor encontrado na fórmula da Soma:
    \(S_{n}=((a_1+a_n)n)/2\)
    \(425=((20+5_n+15)n)/2\)
    \(850=(35+5-n)/2\)
    \(5_n^2+35_n-850=0\)
    Resolvendo essa equação pela fórmula de báskara, encontramos:
    \(n=10\) e \(n=16\)
    Assim, o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro é \(n=10\).

domingo, 28 de novembro de 2010

Exercícios

1) De

termine o 61º termo da PA (9,13,17,21...):

a1=9
a2=13
r=?
a61=?
Como temos a1 e a2 podemos encontrar r:
a2=a1+r
13=9+r
13-9=r
r=4
Agora substituindo na fórmula do termo geral an=a1+(n-1).r , temos:
a61=9+(61-1).4
a61=9+(60).4
a61=9+240
a61=249


2) Determinar o número de termos da PA (4,7,10,....,136)
a1=4
a2=7
an=136
r=?
n=?
O primeiro passo é encontrar a razão ,depois é só substituir na fórmula do termo geral e encontrar n:
a2=a1+r
7=4+r
7-4=r
r=3
Substituindo:
an=a1+(n-1).r
136=4+(n-1).3
136=4+3n-3
136+3-4=3n
135=3n
n=135/3
n=45

3) (ITA/200) O valor de n que torna a seqüência (2+3n,-5n,1-4n) uma PA pertence ao intervalo:
a) [-2,-1]
b) [-1,0]
c) [0,1]
d) [1,3]
e) [2,3]
a1=2+3n
a2=-5n
a3=1-4n
Para que a seqüência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação de definição de PA):
a2=a1+r
-5n=2+3n+r
-5n-3n-2=r
r=-8n-2 e


a3=a2+r
1-4n=-5n+r
1-4n+5n=r
r=1+n

Determinando o valor de r:
-8n-2=1+n
-8n-n=1+2
-9n=3
n=3/-9
n=-1/3

Logo a resposta correta é a alternativa b.

4) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187.Qual a soma dos trinta primeiros termos:
a1=100
a30=187
n=30
s30=?
Aplicando a fórmula da soma S_n=(a_1+a_n).n/2 temos:
s30=(100+187).30/2
s30=(287).15
s30=4305

5) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
a1=21
r=7
a12=?
n=12
s12=?
Calculando a12 utilizando a fórmula do termo geral an=a1+(n-1).r temos:
a12=21+(12-1).7
a12=21+(11).7
a12=21+77
a12=98
Agora é só substituir na fórmula da soma sn=(a1+an).n/2
s12=(21+98).12/2
s12=(119).6
s12=714

6) Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. ( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
Sn=(16n – 2n2) / 10
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.

7) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
Ora, se x + 1, 2x , x^2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x^2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x^2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x^2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x^2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas.

8) UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.
Logo, teremos a seguinte seqüência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.
Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
A soma procurada será igual ao resultado anterior mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60.

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1

5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376

6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60
Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60
Subtraindo membro a membro as duas expressões, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.
Substituindo numa das equações acima, vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.
Logo, o centésimo termo será:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965
7- Determinar o déscimo segundo termo da P.A. (3,5,7,...).
\(a_1=3\)

n=12
\(a_{12}= ?\)
Calculamos a razão:
r=5-3
r=2
Substituímos estes valores na fórmula do termo geral :
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(a_{12}=3+(12-1)2\)
\(a_{12}=25\)
8 - Determinar o primeiro termo de uma P.A. em que o vigésimo termo é igual a 99 e a razão é igual a 5.
\(a_{20}=99\)
n=20
r=5
\(a_1= ?\)
Substituímos esses valores na fórmula do termo geral:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(99= a_1+(20-1)5\)
\( 99=a_1+95\)
\(a_1=4\)
9 - Calcular a razão de uma P.A., sabendo que o primeiro termo é o triplo da razão e que \(a_{23}=50\).
\(a_{23}=50\)
n=23
\(a_1=3r\)
r= ?
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(50=3r+(23-1)r\)
\(50=3r+22r\)
\(50=25r\)
\(r=2\)
10 - Sabendo que \((x+1)\),\((3x-2)\),\((2x+4)\) formam, nessa ordem, uma P.A., calcular o valor de x e a razão dessa P.A.
\(P.A. (x+1,3x-2,2x+4)\)
Sabendo que numa P.A. a diferença entre um termo, a partir do segundo, e o seu antecessor é sempre constante, podemos montar a seguinte equação:
\((2x+4)-(3x-2)=(3x-2)-(x+1)\)
\(2x+4-3x+2=3x-2-x-1\)
\(-x+6=2x-3\)
\(-x-2x=-3-6\) (-1)
\(3x=9\)
\(x=3\)
Para determinar a razão, basta substituir x por 3 na sequencia inicial e efetuar a diferença entre um termo e seu anterior.
\((x+1)\),\((3x-2)\),\((2x+4)\)
\((3+1)\),\((3(3)-2)\),\((2(3)+4)\)
4,7,10
Logo, r=7-4 = 3

1) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por \(S_n=n^2+2n\). O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25

- Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo \((a_1)\) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.
- À primeira vista você pode achar que se substituirmos \(n\) por 13 teremos o valor do 13o
termo. Estamos enganados. Então:
- O que devemos fazer é substituir primeiro \(n\) por 1, isso dá
\(S_1=12+2(1)\)
\(S_1=3\)
- Como S1 significa a soma de todos os termos até \(a_1\), ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele \((a_1=3)\)
- Se substituirmos \(n\) por 2, temos:
\(S_2=22+2(2)\)
\(S_2=8\)
- S2 significa a soma de todos os termos até \(a_2\), então é igual à \(a_1+a_2\).
Como já sabemos o valor de a1, logo:
\(S_2=a_1+a_2=8\)
\(3+a_2=8\)
\(a_2=5\)
Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
\(a_{13}=3+(13-1)2\)
\(a_{13}=3+24\)
\(a_{13}=27\)
Resposta certa letra "C"



2) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7

- Informações do problema:
\(a_1=112 a_n=250 r=23\)
- Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:
- A alternativa "E" parece ser a alternativa correta, mas 7 não é a resposta, é o número total de termos.
Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.
Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.
A resposta certa é a letra "C"




3) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é:
(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76

- Informações do problema:
\( a_7=20 a_{10}=32 a_{20}=?\)
- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:
\(a_7=a_1+6r a_{10}=a_1 + 9_r\)
\(20=a_1+6r 32=a_1 + 9_r\)
- Formamos um sistema de equações e resolvemos:
\(20=a_1+6r\)
\(32=a_1+9r\)
Vamos isolar o termo \(a_1\) na primeira equação
\(a_1=20-6r\)
Agora vamos substituir este valor na segunda equação
\(32=20-6r+9r\)
\(32-20=9r-6r\)
\(12=3r\)
\(r=12/3\)
\(r=4\)
Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do \(a_1\).
\(20=a_1+6*4\)
\(20=a_1+24\)
\(a_1=-24+20\)
\(a_1= -4\)
Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pede o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.
\(a_{20}=a_1+19r\)
\(a_{20}=-4+19*4\)
\(a_{20}=-4+19*4\)
\(a_20=72\)
Resposta certa letra "C".

1) Dados a5=100 e r=10 , calcule o primeiro termo:

a5=100
n=5
r=10
a1=?

a5=a1+(5-1).r
100=a1+(4).10
100=a1+40
100-40=a1
a1=60

1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:

- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:
\( a_1=5 \) \( r=11 \) \( a_{13}=? \)
- Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde \( a_n \) será o \( a_{13} \), portanto \( n=13 \).

Agora, substituindo:
\[\begin{aligned}
a_{13} = 5 + (13 - 1) * 11 \\
a_{13} = 5 + (12 * 11) \\
a_{13} = 5 + 132 \\
a_{13} = 137 \\
\end{aligned}\]




2) Sendo \( a_7 = 21 \) e \( a_9 = 27 \) , calcule o valor da razão: \( a_7 = a_1 + (7 - 1)r \)

Substituindo pelos valores
\[\begin{aligned}
21 = a_1 + 6r \\
a_9 = a_1 + (9 - 1)r \\
\end{aligned}\]
Substituindo pelos valores \(27 = a_1 + 8r \)
Note que temos duas incógnitas ( \(a_1\) e \(r\) ) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações.
Vamos isolar o \(a_1\) na primeira equação e substituir na segunda: \( a_1 = 21 - 6r \)
Agora, substituindo na segunda:
\[\begin{aligned}
27 = (21 - 6r) + 8r \\
27 = 21 + 2r\\
27 - 21 = 2r\\
6 = 2r\\
\frac{6}{2} = r\\
r=3
\end{aligned}\]


3) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a

- informações do problema: \( a1 = 23; r = -6; a_n = -13; n = ? \)

- Substituindo na fórmula do termo geral:
\[\begin{aligned}
a_n = a_1 + (n-1)r \\
-13 = 23 + (n - 1)(-6) \\
-13 - 23 = -6n + 6 \\
-36 - 6 = -6n \\
-42 = -6n \\
\end{aligned}\]
Vamos multiplicar os dois lados por (\(-1\))
\[\begin{aligned}
6n = 42 \\
n = \frac{42}{6} \\
n=7 \\
\end{aligned}\]
Resposta certa letra "B"


4) (UCS) O valor de x para que a sequência \( (2x, x+1, 3x) \) seja uma PA é:
(A) \( \frac{1}{2} \)
(B) \( \frac{2}{3} \)
(C) 3
(D) \( \frac{1}{2} \)
(E) 2

- Informações: \( a_1 = 2x; a_2 = x+1; a_3 = 3x \)

- Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da

frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:

\[\begin{aligned}

a_2 = a1 + r \\

r = a_2 - a1 \\

a_3 = a_2 + r \\

r = a_3 - a_2

\end{aligned}\]

- Como temos \(r\) igualado nas duas equações, podemos igualar uma a outra, ou seja:

\( a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \)

- Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:

\[\begin{aligned}

6n = 42 \\

(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1) \\

x + 1 - 2x = 3x - x - 1 \\

x - 2x - 3x + x= -1 - 1 \\

-3x = -2 \\

\end{aligned}\]

Multiplicando ambos os lados por (-1)

\[\begin{aligned}

3x = 2 \\

x = \frac{2}{3} \\

\end{aligned}\]

Resposta certa letra "B"

sábado, 27 de novembro de 2010

Avaliação do Blog

  1. O que você achou do design do blog?
  2. Referente aos conteúdos e exemplos apresentados, ficaram claras as explicações?
  3. Qual a sugestão que você daria para podermos melhorar o blog?

Principais conceitos de uma P.A

Progressão Aritmética

É uma sucessão de números um após o outro que seguem um "ritmo definido".
É toda a sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
 
  Por exemplo:
    (2,5,8,11,14...)
  Nesta sequência, 3 é a razão da progressão aritmética.
    5=2+3
    8=5+3
    11=8+3
    14=11+3
     Uma progressão aritmética pode ser: crescente, decrescente ou constante.

    Exemplos:
    (3,4,5,6,7) é uma P.A. crescente, pois r=1>0, ou seja, os elementos estarão em ordem crescente.
    (10,8,6,4,...) é uma P.A. decresente, pois r=-2<0, ou seja, os elemtentos estarão em ordem decrescente.
    (5,5,5,5) é uma P.A. constante, pois r=0, os elementos serão todos iguais.

Representação de uma P.A

    A representação matemática de uma Progressão Aritmética é:
\(    a_{n+1}=a_{n}+r\)    ou   \(a_₂-a_₁=a_₃-a_₂=...=a_{n+1}-a_{n}=r\)
         Exemplo:
    Calcular r e a₅ na P.A.(3,9,15,21...)
    \(a_{n+1}=a_{n}+r\)         \(a_₅=a_₄+r\)
    9=3+r            \(a_₅=21+6\)
    r=6               \(a_₅=27\)  
     Logo, r=6   e   \(a_₅=27\)

Termo Geral de uma Progressão Aritmética

    Considere uma P.A. finita qualquer \((a_₁,a_₂,a_₃,...,a_{n})\) de razão igual a r, sabemos que:
    \(a_₂-a_₁=r→a_₂=a_₁+r\)
    \(a_₃-a_₂=r→a_₃-a_₁-r=r→a_₃=a_₁+2r\)
    \(a_₄-a_₃=r→a_₄-a_₁-2r=r→a_₄=a_₁+3r\)
    ....
   \( a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
         Exemplo:
    Calcule o 16º termo de uma P.A., sabendo que \(a_₁=-10\); r=3.
    \(a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
    \(a_₁₆=-10+(16-1)3\)
    \(a_₁₆=-10+15.3\)
    \(a_₁₆=-10+45\)
    \(a_₁₆=35\)
    Logo, o 16º termo da P.A. é 35.

Soma dos termos de uma P.A. finita
     Se tivermos uma P.A. finita qualquer, usamos a seguinte fórmula para a soma de seus termos:
    \(Sn=(((a_₁+a_n)n)/2)\)
         Exemplo:
    Determine uma P.A. sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que a₈=79.
    n=8
    \(S_n=324\)
    \(a_₈=79\)
         \(S_n=(((a_₁+a_n)n)/2)\)
    \(324=(((a_₁+79)8)/2)\)
    \(324.2=8a_₁+79.8\)
    \(648=8a_₁+632\)
    \(648-632=8a_₁\)
    \(16=8a_₁\)
   \( a_₁=((16)/8)= 2\)
         Agora precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.
   \( a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
    79=2+(8-1)r
    79=2+7r
    79-2=7r
    \(r=((77)/7)= 11\)
         Então a P.A. fica:
    (2,13,24,35,46,57,68,79)
    Soma= 2+13+24+35+46+57+68+79= 324

História das Progressões

As progressões começaram a ser estudadas desde os povos muito antigos como os babilônicos.
Na Mesopotâmia surgiram várias tabelas babilônicas muito interessantes, mas a mais extraordinária foi a de Plimpton 322 (1900 a 1600 a.C). A Matemática no Egito antigo nunca alcançou o nível obtido na Matemática Babilônica, talvez porque a babilônia era o centro das rotas de navios e de troca de saberes.
Mas não podemos esquecer que os egípcios tiveram um papel primordial na preservação de muitos destes papiros que contribuiram para o nosso conhecimento em Matemática hoje.
Em um papiro que data de 1950 a.C., podemos encontrar problemas teóricos a respeito de Progressões Aritméticas e Geométricas. Tem também o papiro Rhind (ou Ahmes) data aproximadamente de 1650 a.C. e nada mais é do que um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo.
O papiro Rhind é uma fonte primária rica sobre matemática egípcia antiga, deixando evidências de que sabiam fazer a soma de termos de uma progressão aritmética. Nele consta o seguinte problema:
"Divida 100 pães entre 5homens de modo que as partes recebidas estejam em Progressão Aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja a soma das duas menores."
Podemos observar assim, que muitos dos exercícios contidos no papiro Rhind são exercícios para jovens estudantes.
Os babilônicos também utilizavam sequências. Foram encontrados dois problemas interessantes em uma tábua de Louvre, datando por volta de 300 a.C.. Os quais, um deles afirma que:
\(1+2+2^2+2^3+...+2^8 + 2^9= 2^9 + 2^9 -1\)
Presume-se que se deve a Pitágoras (585 a.C. - 500 a.C) e aos sábiso gregos que viveram depois dele, a criação da Aritmética teóricos, pois os pitagóricos conheciam as progressões aritméticas e as geométricas, as harmônicas e musicais, as proporções, os quadrados de uma soma ou de uma diferença.
Friedrich Gauss (1777-1855) deu sinais de ser um grande gênio aos 3 anos de idade. Nesta época ele já havia aprendido a ler e a fazer cálculos aritméticos mentalmente. Aos dez anos de idade, durante uma aula de matemática seu professor pediu para que todos os alunos obtivessem a soma dos números de 1 a 100. Em poucos minutos Gauss apresentou o resultado correto. Até então ninguém era capaz desse feito. Ele se baseou no fato de que a soma dos números opostos é sempre contante. Então multiplicou a constante pelo número de termos e dividiu pela metade, chegando a fórmula da soma de uma P.A.
\(S_n = \frac{[(a_1+a_n)n]}{2}\)