Bem Vindooooooos!

Olá pessoal!

Somos Alessandro, Caroline, Daniana, Élder, Joifer, Thailise e Tiago, acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do Sul.

Criamos este blog como atividade da Prática Pedagógica que consiste na realização de um projeto de aprendizagem sobre Progressão Aritmética (P.A.) da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral III, auxiliados pela Profa. Isolda.



Ao longo da vida, estamos o tempo todo rodeados de fenômenos da natureza e, se prestarmos um pouco de atenção, vai nos surpreender com sua regularidade. Sendo o objeto da Matemática justamente o estudo dessa regularidade, à medida que se constata haver um padrão de comportamento comum a diferentes situações fenomênicas, a pesquisa é desenvolvida e as descobertas ampliadas. Sendo assim, esses padrões se transformam em representações numéricas, que são a expressão da Matemática.
Por exemplo, pode se observar o formato das flores, a quantidade de pétalas, o desenho que aparece nas frutas quando são cortadas transversais ou longitudinais. Conclui-se que há uma disposição tão perfeitamente simétrica que não conseguirá ficar indiferente. Ai surge a sequência de Fibonacci.
Fibonacci foi o nome com o qual o matemático Leonardo Pisano ficou conhecido. Ele contribuiu para o desenvolvimento da Matemática em diversas pesquisas, como sistematização dos algarismos arábicos, a publicação do Livro do Ábaco e a descoberta da sequência de Fibonacci.
A sequência de Fibonacci consiste em uma sequência de números que começa por 0 e 1 sendo, daí por diante, cada número determinado pela soma dos dois anteriores.

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...

Isso nos mostra como é o comportamento de uma Progressão Aritmética, que trataremos neste blog, buscando desenvolver conceitos, exemplos, que facilitem o aprendizado.




.... NUNCA DISCUTA COM UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA...
... ELA SEMPRE TEM RAZÃO!!!

segunda-feira, 29 de novembro de 2010

Atividades de aprendizagem classificadas em níveis: baixo, médio e alto

    1) Escreva uma P.A de 8 termos em que \(a_1=6\) e \(r=-4\)
    Para começar temos os seguintes dados:
    \(a_1=6\)
    \(r=-4\)
    E para calcular o segundo termo basta somar o nosso primeiro termo e a razão r  da P.A dada:
    \(a_2=a_1+r\)
    \(a_2=6+(-4)\)
    \(a_2=2\)
     Dessa forma, conseguiremos calcular os próximos 8 termos dessa P.A
    Logo, a nossa P.A será: P.A (6, 2, -2, -6, -10, -14, -18, -22)
         2) Encontre o termo geral da P.A. (2,7,...).
    À partir da P.A dada temos os seguintes dados:
    \(a_1=2\)
    \(a_2=7\)
    \(r=a_2-a_1\)
    \(r=7-2\)
    r=5
    Agora é só aplicar os dados do problema na fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(a_{n}=2+(n-1)5\)
    \(a_{n}=2+5n-5\)
    \(a_{n}=5n-3\)
    Logo, \(a_{n}=5n-3.\)
         3) Numa P.A \(a_4=12\) e \(a_9=27\).Calcule \(a_{3.}\)
     Dos dados que temos, podemos pensar em obter uma P.A em que o nosso a₁ seja o que a quastão nos propõe como \(a_4\) e o \(a_9\) sendo o nosso último termo dessa nova P.A. assim, encontraremos a razão dessa progressão:
    P.A (12, __,__,...,27)
    Com essa nova P.A., temos os seguintes dados:
    \(a_1=12\)
    \(a_6=27\)
    \(n=6\)
    Com esses dados, podemos substituí-los na fórmula do termo geral e encontrar a razão r:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(27=12+(6-1)r\)
    \(15=5r\)
    \(r=3\)
    Assim, a razão da nova P.A é r=3, o que de modo análogo será o mesmo que a P.A inicial.
    De tal forma, voltando à P.A inicial e tendo os termos \(a_4=12\) e\( r=3\), podemos assim calcular o termo a₃:
    \(a_4=a_3+r\)
    \(12=a_3+3\)
    \(a_3=9\)
    Logo, obtemos \(a_3=9.\)
     Obs.: este cálculo poderia também ser mostrado através das Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
         4) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?
    O exercício nos dá uma P.A. no seguinte formato:
    P.A.(2,__,__,__,__,__,...,66)
    Dessa P.A e do exercício temos os dados abaixo:
    r=8
   \(a_1=2\)
   \( a_{n}=66\)
    O que temos que calcular é o n,ou seja, o número de termos entre 2 e 66, podendo isso se calculado pela fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
   \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(66=2+(n-1)8\)
    \(66-2=8n-8\)
    \(64-8=8n\)
   \(n=((56)/8)\)
    \(n=7\)
    Logo, sabemos que a nossa P.A. tem 7 termos, porém o que queremos saber são quantos meios existem entre 2 e 66, assim :
    n=7-2
    n=5
         5) Ache três números em P.A crescente sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
    Primeiramente vamos indicar nossa P.A.:
    \(P.A. (x-r,x,x+r)\)
    Obs.: Para sabermos que a nossa P.A é desse formato basta pensarmos nas Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
    Assim, tendo a P.A e os dados do problemas, podemos formar um sistema, onde:
    \((x-r)+x+(x+r)=15\)  ------ \(3x=15\)
    \((x-r)x(x+r)=105\)  ---------- \(x(x^2-r^2)=105\)
    Resolvendo a primeira parte do sistema, temos:
   \(3x=15\)
    \(x=5\)
    Sabendo que \(x=5\), conseguimos resolver a segunda parte do sistema:
    \(x(x^2-r^2)=105\)
    \(5(5^2-r^2)=105\)
    \(5(25-r^2)=105\)
    \(25-r^2=21\)
    \(25-21=r^2\)
    \(r^2=4\)
    \(r=±2\)
     Agora vamos verificar para quais valores de r obtemos uma P.A. crescente:
    Sendo r=+2                                       Sendo r=-2
    1º termo = x-r=6-(+2)=4              1º termo = x-r=6-(-2)=8  
    2º termo = x=6                                   2º termo = x=6
    3º termo = x+r=6+(+2)=8              3º termo = x+r=6+(+2)=8
    P.A.(4, 6, 8)                                          P.A.(8, 6, 4)
     Assim verificado temos que a P.A de termos crescentes pedida onde sua soma é 15 e seu produto é 105 é:
    P.A.(4, 6, 8)
         6) Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro?
    Primeiramente podemos pensar no que cada um desses dados está se referindo dentro de uma Progressão Aritmética. assim podemos começar a escrevê-la:
    Os termos de nossa P.A. são as linhas escritas em cada dia, assim \(a_1=20\)
    A razão é 5 devido à cada dia escrever o número de linhas do dia anterior mais 5, assim \(r=5\)
    Logo podemos pensar na P.A da seguinte maneira:
    \(P.A.(20, 25,30,...)\)
    Sabendo que o livro tem 17 página e cada página com 25 linha, sabemos o total de linhas do livro, que atribuiremos de \(S_{n}=17×25\) ---- \(S_{n}=425\).
    Assim temos:
    \(a_1=20\)
    \(r=5\)
    \(S_{n}=425\)
    Como querenos encontrar o n, que será o número de dias, e tendo \(a_1\) e r, substituímos na fórmula do termo geral:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(a_{n}=20+(n-1)5\)
    \(a_{n}=20+5-n-5\)
    \(a_{n}=5-n+15\)
    Dessa fórmula ainda não conseguimos sabeo o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro, logo, tendo \(S_{n}=425\), subtituimos o valor encontrado na fórmula da Soma:
    \(S_{n}=((a_1+a_n)n)/2\)
    \(425=((20+5_n+15)n)/2\)
    \(850=(35+5-n)/2\)
    \(5_n^2+35_n-850=0\)
    Resolvendo essa equação pela fórmula de báskara, encontramos:
    \(n=10\) e \(n=16\)
    Assim, o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro é \(n=10\).

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