Bem Vindooooooos!

Olá pessoal!

Somos Alessandro, Caroline, Daniana, Élder, Joifer, Thailise e Tiago, acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do Sul.

Criamos este blog como atividade da Prática Pedagógica que consiste na realização de um projeto de aprendizagem sobre Progressão Aritmética (P.A.) da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral III, auxiliados pela Profa. Isolda.



Ao longo da vida, estamos o tempo todo rodeados de fenômenos da natureza e, se prestarmos um pouco de atenção, vai nos surpreender com sua regularidade. Sendo o objeto da Matemática justamente o estudo dessa regularidade, à medida que se constata haver um padrão de comportamento comum a diferentes situações fenomênicas, a pesquisa é desenvolvida e as descobertas ampliadas. Sendo assim, esses padrões se transformam em representações numéricas, que são a expressão da Matemática.
Por exemplo, pode se observar o formato das flores, a quantidade de pétalas, o desenho que aparece nas frutas quando são cortadas transversais ou longitudinais. Conclui-se que há uma disposição tão perfeitamente simétrica que não conseguirá ficar indiferente. Ai surge a sequência de Fibonacci.
Fibonacci foi o nome com o qual o matemático Leonardo Pisano ficou conhecido. Ele contribuiu para o desenvolvimento da Matemática em diversas pesquisas, como sistematização dos algarismos arábicos, a publicação do Livro do Ábaco e a descoberta da sequência de Fibonacci.
A sequência de Fibonacci consiste em uma sequência de números que começa por 0 e 1 sendo, daí por diante, cada número determinado pela soma dos dois anteriores.

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...

Isso nos mostra como é o comportamento de uma Progressão Aritmética, que trataremos neste blog, buscando desenvolver conceitos, exemplos, que facilitem o aprendizado.




.... NUNCA DISCUTA COM UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA...
... ELA SEMPRE TEM RAZÃO!!!

sábado, 4 de dezembro de 2010

Referências Bibliográficas

SMOLE, Kátia Cristina Stocco. DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. Editora Saraiva. 3ª ed. São Paulo. 2003

RÊGO, Rogéria Gaudêncio do. RÊGO, Rômulo Marinho do. Matemáticativa. Editora Universitária. João Pessoa. 2000

PAIVA, Manoel. Matemática. Editora Moderna. 1º ed. São Paulo. 1995.

FACCHINI. Matemática Volume Único. Editora Saraiva. São Paulo. 1997.

GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI JR., José Ruy. Matemática Fundamental. 2º Grau. Volume Único. Editora FTD. São Paulo. 1994.

Atividades Lúdicas

Figura 2.0

Figura 1.0





Pensamos em fazer um jogo usado de uma forma dinâmica em sala de aula.


Como primeira atividade:

Material necessário: Papel quadriculado, lápis de cor e tesoura.

Sugestão de desenvolvimento das atividades:

- Trabalho em duplas;

- Os alunos escolhem inicialmente dois números quaisquer, um representando o primeiro termo da P.A. e o outro a razão;

- Em seguida constroem utilizando o material multi-base, os primeiros elementos da P.A. e fazem a representação da mesma no papel quadriculado usando lápis de cor;

- Com base na observação do registro dos elementos no papel quadriculado, os alunos enunciam uma definição de P.A. e a expressão que permite a determinação do termo geral de uma P.A., sem dificuldades;

- Figura 1.0


A soma Sn dos n primeiros termos de uma P.A. é sugerida pela constatação de que a figura obtida pelos alunos é análoga a uma figura geométrica conhecida: um trapézio. A soma dos termos será, portanto, igual a área do trapézio obtido, cujas bases são o primeiro e o n-ésimo temos da P.A.

Pode-se ainda obter Sn duplicando-se a figura. Juntas as duas figuras formam um retângulo de altura igual ao número de termos n e base igual a soma do primeiro com o n-ésimo termo.

Exemplo: Figura 2.0

A área de cada figura em forma de escada será igual a metade da área do retângulo.


É interessante que os alunos continuem este estudo buscando exemplos de progressões aritméticas presentes no seu dia a dia.
Pirâmide de EsferasNegrito
Material necessário: Bolas de isopor pequenas (esferas), cola.
Pensando em uma pirâmide que possui 4 andares, toda fabricada com esferas.
a) Quantas esferas há na base?
b) Se a pirâmide tivesse 12 andares, quantas esferas haveria na base?
Dica de resolução:
a) Para responder a este item podemos fazer um esquema:
1º andar - 1 esfera
2º andar - 3 esferas ( 1+2 esferas)
3º andar - 6 esferas ( 1 + 2 + 3 esferas)
4º andar - 10 esferas (1 + 2 + 3 + 4 esferas)
Assim temos 10 esferas na base se a pirâmide tiver 4 andares.
b) para saber o número de esferas da base de uma pirâmide de 12 andares podemos dezenhar ou observar pelo esquema anterior que o número de esferas da base correspinde à Soma dos 12 primeiros termos de uma P.A. onde a1=1 e r=1.
Assim:
S12 = [(1+12)/2]*12
S12 = 78
Logo, na base de uma pirâmide de 12 andares haveria 78 esferas.

terça-feira, 30 de novembro de 2010

Observações que podem facilitar a resolução de problemas de P.A.

1ª Observação
É sempre conveniente colocar os termos em função de \(a_1\) e r, lembrando que:
 \(a_2=a_1+r\);  \(a_3=a_1+2r\);  \(a_4=a_1+3r\);...;  \(a_{10}=a_1+9r\) e assim por diante

Exemplo: Numa P.A.,  \(a_2+a_6=20\) e  \(a_4+a_9=35\). Escrever a P.A.
Resolução: Vamos escrever os dados em função de  \(a_1\) e r:
 \(a_2=a_1+r\)
 \(a_6=a_1+5r\)
 \(a_4=a_1+3r\)
 \(a_9=a_1+8r\)
Assim podemos formar o sistema com duas variáveis:
 \((a_1+r)+(a_1+5)=20\) -------- \(2a_1+6r=20\)
 \((a_1+3r)+(a_1+8r)=35\) -----  \(2a_1+11r=35\)
Resolvendo o sistema encontramos r=3. E substituindo o valor r encontrado em uma das funções acima encontramos  \(a_1\):
 \(2a_1+6r=20\)
 \(2a_1+6(3)=20\)
 \(2a_1=2\)
 \(a_1=1\)
Resposta: logo a P.A. pedida é (1, 4, 7, ...)

2ª Observação
Quando os problemas tratarem de soma ou produto de termos consecutivos de uma p.A., é conveniente escrever a P.A em função do termo do meio, que indicaremos por x.
Assim:
* se a P.A. tem 3 termos, vamos indicá-los por:  \((x-r, x, x+r)\);
* se a P.A. tem 5 termos, vamos indicá-los por:  \((x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)\);
* se a P.A. tem 4 termos, vamos indicá-los por:  \((x-3r, x-r, x+r, x+3r)\);

Exemplo: Três números estão em P.A., de tal forma que a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular os três números.
Resolução: Vamos indicar nossa P.A por  \((x-r, x, x+r)\)
1º termo= x-r; 2º termo= x; 3º termo= x+r
Podemos formar o sistema com duas variáveis (x e r)
 \((x-r) + x + (x+r)= 18\)
 \((x-r) (x) (x+r)= 66\)
Resolvendo a primeira equação do sistema, temos:
 \((x-r) + x + (x+r)= 18\)
 \(3x=18\)
 \(x=6\)
E substituindo o valor encontrado para x na segunda equação do sistema, temos:
 \((x-r) (x) (x+r)= 66\)
 \((6-r) (6) (6+r)=66\)
 \(6(36-r^2)=66\)
 \(r^2=25\)
 \(r=±5\)
Sendo r=5                                        Sendo r=-5
1º termo = 6-5=1                             1º termo = 6-(-5)=11
2º termo = 6                                     2º termo = 6
3º termo = 6+5=11                          3º termo = 6+(-5)=1
Resposta: Os números pedidos são 1, 5 e 11.

Proposta de Avaliação!

    1) Qual é o 1° termo de uma PA em que \(a_{10}= 39\) e \(r=4\)?

    2) Escreva uma P.A de 6 termos em que \(a_1= -3\) e \(r=5\).

    3) Escreva uma P.A de 4 termos em que \(a_1= a+2\) e \(r=a\).

    4) A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1° termo dessa PA é 2, calcule a razão r da PA.

    5) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por \(x+1\), \(2x\), \(x^2-5\) e estão em P.A nessa ordem. calcule o perímetro do triângulo.

    6) Numa Progressão Aritmética o primeiro e o segundo termos são, respectivamente, iguais a 6 e 8. Calcule a soma dos 20 termos consecutivos da progressão a partir do 7° termo (inclusive).

    7) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos?

    8) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.

    9) Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300.

    10) Se \(x=(1+3+...+49)\) é a soma dos ímpares de 1 a 49 e se \(y=(2+4+...+50)\) é a soma dos pares de 2 a 50, calcule \(x-y\).

segunda-feira, 29 de novembro de 2010

Atividades de aprendizagem classificadas em níveis: baixo, médio e alto

    1) Escreva uma P.A de 8 termos em que \(a_1=6\) e \(r=-4\)
    Para começar temos os seguintes dados:
    \(a_1=6\)
    \(r=-4\)
    E para calcular o segundo termo basta somar o nosso primeiro termo e a razão r  da P.A dada:
    \(a_2=a_1+r\)
    \(a_2=6+(-4)\)
    \(a_2=2\)
     Dessa forma, conseguiremos calcular os próximos 8 termos dessa P.A
    Logo, a nossa P.A será: P.A (6, 2, -2, -6, -10, -14, -18, -22)
         2) Encontre o termo geral da P.A. (2,7,...).
    À partir da P.A dada temos os seguintes dados:
    \(a_1=2\)
    \(a_2=7\)
    \(r=a_2-a_1\)
    \(r=7-2\)
    r=5
    Agora é só aplicar os dados do problema na fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(a_{n}=2+(n-1)5\)
    \(a_{n}=2+5n-5\)
    \(a_{n}=5n-3\)
    Logo, \(a_{n}=5n-3.\)
         3) Numa P.A \(a_4=12\) e \(a_9=27\).Calcule \(a_{3.}\)
     Dos dados que temos, podemos pensar em obter uma P.A em que o nosso a₁ seja o que a quastão nos propõe como \(a_4\) e o \(a_9\) sendo o nosso último termo dessa nova P.A. assim, encontraremos a razão dessa progressão:
    P.A (12, __,__,...,27)
    Com essa nova P.A., temos os seguintes dados:
    \(a_1=12\)
    \(a_6=27\)
    \(n=6\)
    Com esses dados, podemos substituí-los na fórmula do termo geral e encontrar a razão r:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(27=12+(6-1)r\)
    \(15=5r\)
    \(r=3\)
    Assim, a razão da nova P.A é r=3, o que de modo análogo será o mesmo que a P.A inicial.
    De tal forma, voltando à P.A inicial e tendo os termos \(a_4=12\) e\( r=3\), podemos assim calcular o termo a₃:
    \(a_4=a_3+r\)
    \(12=a_3+3\)
    \(a_3=9\)
    Logo, obtemos \(a_3=9.\)
     Obs.: este cálculo poderia também ser mostrado através das Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
         4) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?
    O exercício nos dá uma P.A. no seguinte formato:
    P.A.(2,__,__,__,__,__,...,66)
    Dessa P.A e do exercício temos os dados abaixo:
    r=8
   \(a_1=2\)
   \( a_{n}=66\)
    O que temos que calcular é o n,ou seja, o número de termos entre 2 e 66, podendo isso se calculado pela fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
   \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(66=2+(n-1)8\)
    \(66-2=8n-8\)
    \(64-8=8n\)
   \(n=((56)/8)\)
    \(n=7\)
    Logo, sabemos que a nossa P.A. tem 7 termos, porém o que queremos saber são quantos meios existem entre 2 e 66, assim :
    n=7-2
    n=5
         5) Ache três números em P.A crescente sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
    Primeiramente vamos indicar nossa P.A.:
    \(P.A. (x-r,x,x+r)\)
    Obs.: Para sabermos que a nossa P.A é desse formato basta pensarmos nas Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
    Assim, tendo a P.A e os dados do problemas, podemos formar um sistema, onde:
    \((x-r)+x+(x+r)=15\)  ------ \(3x=15\)
    \((x-r)x(x+r)=105\)  ---------- \(x(x^2-r^2)=105\)
    Resolvendo a primeira parte do sistema, temos:
   \(3x=15\)
    \(x=5\)
    Sabendo que \(x=5\), conseguimos resolver a segunda parte do sistema:
    \(x(x^2-r^2)=105\)
    \(5(5^2-r^2)=105\)
    \(5(25-r^2)=105\)
    \(25-r^2=21\)
    \(25-21=r^2\)
    \(r^2=4\)
    \(r=±2\)
     Agora vamos verificar para quais valores de r obtemos uma P.A. crescente:
    Sendo r=+2                                       Sendo r=-2
    1º termo = x-r=6-(+2)=4              1º termo = x-r=6-(-2)=8  
    2º termo = x=6                                   2º termo = x=6
    3º termo = x+r=6+(+2)=8              3º termo = x+r=6+(+2)=8
    P.A.(4, 6, 8)                                          P.A.(8, 6, 4)
     Assim verificado temos que a P.A de termos crescentes pedida onde sua soma é 15 e seu produto é 105 é:
    P.A.(4, 6, 8)
         6) Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro?
    Primeiramente podemos pensar no que cada um desses dados está se referindo dentro de uma Progressão Aritmética. assim podemos começar a escrevê-la:
    Os termos de nossa P.A. são as linhas escritas em cada dia, assim \(a_1=20\)
    A razão é 5 devido à cada dia escrever o número de linhas do dia anterior mais 5, assim \(r=5\)
    Logo podemos pensar na P.A da seguinte maneira:
    \(P.A.(20, 25,30,...)\)
    Sabendo que o livro tem 17 página e cada página com 25 linha, sabemos o total de linhas do livro, que atribuiremos de \(S_{n}=17×25\) ---- \(S_{n}=425\).
    Assim temos:
    \(a_1=20\)
    \(r=5\)
    \(S_{n}=425\)
    Como querenos encontrar o n, que será o número de dias, e tendo \(a_1\) e r, substituímos na fórmula do termo geral:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(a_{n}=20+(n-1)5\)
    \(a_{n}=20+5-n-5\)
    \(a_{n}=5-n+15\)
    Dessa fórmula ainda não conseguimos sabeo o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro, logo, tendo \(S_{n}=425\), subtituimos o valor encontrado na fórmula da Soma:
    \(S_{n}=((a_1+a_n)n)/2\)
    \(425=((20+5_n+15)n)/2\)
    \(850=(35+5-n)/2\)
    \(5_n^2+35_n-850=0\)
    Resolvendo essa equação pela fórmula de báskara, encontramos:
    \(n=10\) e \(n=16\)
    Assim, o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro é \(n=10\).