1ª Observação
É sempre conveniente colocar os termos em função de \(a_1\) e r, lembrando que:
\(a_2=a_1+r\); \(a_3=a_1+2r\); \(a_4=a_1+3r\);...; \(a_{10}=a_1+9r\) e assim por diante
Exemplo: Numa P.A., \(a_2+a_6=20\) e \(a_4+a_9=35\). Escrever a P.A.
Resolução: Vamos escrever os dados em função de \(a_1\) e r:
\(a_2=a_1+r\)
\(a_6=a_1+5r\)
\(a_4=a_1+3r\)
\(a_9=a_1+8r\)
Assim podemos formar o sistema com duas variáveis:
\((a_1+r)+(a_1+5)=20\) -------- \(2a_1+6r=20\)
\((a_1+3r)+(a_1+8r)=35\) ----- \(2a_1+11r=35\)
Resolvendo o sistema encontramos r=3. E substituindo o valor r encontrado em uma das funções acima encontramos \(a_1\):
\(2a_1+6r=20\)
\(2a_1+6(3)=20\)
\(2a_1=2\)
\(a_1=1\)
Resposta: logo a P.A. pedida é (1, 4, 7, ...)
2ª Observação
Quando os problemas tratarem de soma ou produto de termos consecutivos de uma p.A., é conveniente escrever a P.A em função do termo do meio, que indicaremos por x.
Assim:
* se a P.A. tem 3 termos, vamos indicá-los por: \((x-r, x, x+r)\);
* se a P.A. tem 5 termos, vamos indicá-los por: \((x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)\);
* se a P.A. tem 4 termos, vamos indicá-los por: \((x-3r, x-r, x+r, x+3r)\);
Exemplo: Três números estão em P.A., de tal forma que a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular os três números.
Resolução: Vamos indicar nossa P.A por \((x-r, x, x+r)\)
1º termo= x-r; 2º termo= x; 3º termo= x+r
Podemos formar o sistema com duas variáveis (x e r)
\((x-r) + x + (x+r)= 18\)
\((x-r) (x) (x+r)= 66\)
Resolvendo a primeira equação do sistema, temos:
\((x-r) + x + (x+r)= 18\)
\(3x=18\)
\(x=6\)
E substituindo o valor encontrado para x na segunda equação do sistema, temos:
\((x-r) (x) (x+r)= 66\)
\((6-r) (6) (6+r)=66\)
\(6(36-r^2)=66\)
\(r^2=25\)
\(r=±5\)
Sendo r=5 Sendo r=-5
1º termo = 6-5=1 1º termo = 6-(-5)=11
2º termo = 6 2º termo = 6
3º termo = 6+5=11 3º termo = 6+(-5)=1
Resposta: Os números pedidos são 1, 5 e 11.
terça-feira, 30 de novembro de 2010
Proposta de Avaliação!
1) Qual é o 1° termo de uma PA em que \(a_{10}= 39\) e \(r=4\)?
2) Escreva uma P.A de 6 termos em que \(a_1= -3\) e \(r=5\).
3) Escreva uma P.A de 4 termos em que \(a_1= a+2\) e \(r=a\).
4) A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1° termo dessa PA é 2, calcule a razão r da PA.
5) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por \(x+1\), \(2x\), \(x^2-5\) e estão em P.A nessa ordem. calcule o perímetro do triângulo.
6) Numa Progressão Aritmética o primeiro e o segundo termos são, respectivamente, iguais a 6 e 8. Calcule a soma dos 20 termos consecutivos da progressão a partir do 7° termo (inclusive).
7) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos?
8) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.
9) Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300.
10) Se \(x=(1+3+...+49)\) é a soma dos ímpares de 1 a 49 e se \(y=(2+4+...+50)\) é a soma dos pares de 2 a 50, calcule \(x-y\).
2) Escreva uma P.A de 6 termos em que \(a_1= -3\) e \(r=5\).
3) Escreva uma P.A de 4 termos em que \(a_1= a+2\) e \(r=a\).
4) A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1° termo dessa PA é 2, calcule a razão r da PA.
5) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por \(x+1\), \(2x\), \(x^2-5\) e estão em P.A nessa ordem. calcule o perímetro do triângulo.
6) Numa Progressão Aritmética o primeiro e o segundo termos são, respectivamente, iguais a 6 e 8. Calcule a soma dos 20 termos consecutivos da progressão a partir do 7° termo (inclusive).
7) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos?
8) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.
9) Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300.
10) Se \(x=(1+3+...+49)\) é a soma dos ímpares de 1 a 49 e se \(y=(2+4+...+50)\) é a soma dos pares de 2 a 50, calcule \(x-y\).
segunda-feira, 29 de novembro de 2010
Atividades de aprendizagem classificadas em níveis: baixo, médio e alto
1) Escreva uma P.A de 8 termos em que \(a_1=6\) e \(r=-4\)
Para começar temos os seguintes dados:
\(a_1=6\)
\(r=-4\)
E para calcular o segundo termo basta somar o nosso primeiro termo e a razão r da P.A dada:
\(a_2=a_1+r\)
\(a_2=6+(-4)\)
\(a_2=2\)
Dessa forma, conseguiremos calcular os próximos 8 termos dessa P.A
Logo, a nossa P.A será: P.A (6, 2, -2, -6, -10, -14, -18, -22)
2) Encontre o termo geral da P.A. (2,7,...).
À partir da P.A dada temos os seguintes dados:
\(a_1=2\)
\(a_2=7\)
\(r=a_2-a_1\)
\(r=7-2\)
r=5
Agora é só aplicar os dados do problema na fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(a_{n}=2+(n-1)5\)
\(a_{n}=2+5n-5\)
\(a_{n}=5n-3\)
Logo, \(a_{n}=5n-3.\)
3) Numa P.A \(a_4=12\) e \(a_9=27\).Calcule \(a_{3.}\)
Dos dados que temos, podemos pensar em obter uma P.A em que o nosso a₁ seja o que a quastão nos propõe como \(a_4\) e o \(a_9\) sendo o nosso último termo dessa nova P.A. assim, encontraremos a razão dessa progressão:
P.A (12, __,__,...,27)
Com essa nova P.A., temos os seguintes dados:
\(a_1=12\)
\(a_6=27\)
\(n=6\)
Com esses dados, podemos substituí-los na fórmula do termo geral e encontrar a razão r:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(27=12+(6-1)r\)
\(15=5r\)
\(r=3\)
Assim, a razão da nova P.A é r=3, o que de modo análogo será o mesmo que a P.A inicial.
De tal forma, voltando à P.A inicial e tendo os termos \(a_4=12\) e\( r=3\), podemos assim calcular o termo a₃:
\(a_4=a_3+r\)
\(12=a_3+3\)
\(a_3=9\)
Logo, obtemos \(a_3=9.\)
Obs.: este cálculo poderia também ser mostrado através das Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
4) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?
O exercício nos dá uma P.A. no seguinte formato:
P.A.(2,__,__,__,__,__,...,66)
Dessa P.A e do exercício temos os dados abaixo:
r=8
\(a_1=2\)
\( a_{n}=66\)
O que temos que calcular é o n,ou seja, o número de termos entre 2 e 66, podendo isso se calculado pela fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(66=2+(n-1)8\)
\(66-2=8n-8\)
\(64-8=8n\)
\(n=((56)/8)\)
\(n=7\)
Logo, sabemos que a nossa P.A. tem 7 termos, porém o que queremos saber são quantos meios existem entre 2 e 66, assim :
n=7-2
n=5
5) Ache três números em P.A crescente sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
Primeiramente vamos indicar nossa P.A.:
\(P.A. (x-r,x,x+r)\)
Obs.: Para sabermos que a nossa P.A é desse formato basta pensarmos nas Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
Assim, tendo a P.A e os dados do problemas, podemos formar um sistema, onde:
\((x-r)+x+(x+r)=15\) ------ \(3x=15\)
\((x-r)x(x+r)=105\) ---------- \(x(x^2-r^2)=105\)
Resolvendo a primeira parte do sistema, temos:
\(3x=15\)
\(x=5\)
Sabendo que \(x=5\), conseguimos resolver a segunda parte do sistema:
\(x(x^2-r^2)=105\)
\(5(5^2-r^2)=105\)
\(5(25-r^2)=105\)
\(25-r^2=21\)
\(25-21=r^2\)
\(r^2=4\)
\(r=±2\)
Agora vamos verificar para quais valores de r obtemos uma P.A. crescente:
Sendo r=+2 Sendo r=-2
1º termo = x-r=6-(+2)=4 1º termo = x-r=6-(-2)=8
2º termo = x=6 2º termo = x=6
3º termo = x+r=6+(+2)=8 3º termo = x+r=6+(+2)=8
P.A.(4, 6, 8) P.A.(8, 6, 4)
Assim verificado temos que a P.A de termos crescentes pedida onde sua soma é 15 e seu produto é 105 é:
P.A.(4, 6, 8)
6) Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro?
Primeiramente podemos pensar no que cada um desses dados está se referindo dentro de uma Progressão Aritmética. assim podemos começar a escrevê-la:
Os termos de nossa P.A. são as linhas escritas em cada dia, assim \(a_1=20\)
A razão é 5 devido à cada dia escrever o número de linhas do dia anterior mais 5, assim \(r=5\)
Logo podemos pensar na P.A da seguinte maneira:
\(P.A.(20, 25,30,...)\)
Sabendo que o livro tem 17 página e cada página com 25 linha, sabemos o total de linhas do livro, que atribuiremos de \(S_{n}=17×25\) ---- \(S_{n}=425\).
Assim temos:
\(a_1=20\)
\(r=5\)
\(S_{n}=425\)
Como querenos encontrar o n, que será o número de dias, e tendo \(a_1\) e r, substituímos na fórmula do termo geral:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(a_{n}=20+(n-1)5\)
\(a_{n}=20+5-n-5\)
\(a_{n}=5-n+15\)
Dessa fórmula ainda não conseguimos sabeo o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro, logo, tendo \(S_{n}=425\), subtituimos o valor encontrado na fórmula da Soma:
\(S_{n}=((a_1+a_n)n)/2\)
\(425=((20+5_n+15)n)/2\)
\(850=(35+5-n)/2\)
\(5_n^2+35_n-850=0\)
Resolvendo essa equação pela fórmula de báskara, encontramos:
\(n=10\) e \(n=16\)
Assim, o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro é \(n=10\).
Para começar temos os seguintes dados:
\(a_1=6\)
\(r=-4\)
E para calcular o segundo termo basta somar o nosso primeiro termo e a razão r da P.A dada:
\(a_2=a_1+r\)
\(a_2=6+(-4)\)
\(a_2=2\)
Dessa forma, conseguiremos calcular os próximos 8 termos dessa P.A
Logo, a nossa P.A será: P.A (6, 2, -2, -6, -10, -14, -18, -22)
2) Encontre o termo geral da P.A. (2,7,...).
À partir da P.A dada temos os seguintes dados:
\(a_1=2\)
\(a_2=7\)
\(r=a_2-a_1\)
\(r=7-2\)
r=5
Agora é só aplicar os dados do problema na fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(a_{n}=2+(n-1)5\)
\(a_{n}=2+5n-5\)
\(a_{n}=5n-3\)
Logo, \(a_{n}=5n-3.\)
3) Numa P.A \(a_4=12\) e \(a_9=27\).Calcule \(a_{3.}\)
Dos dados que temos, podemos pensar em obter uma P.A em que o nosso a₁ seja o que a quastão nos propõe como \(a_4\) e o \(a_9\) sendo o nosso último termo dessa nova P.A. assim, encontraremos a razão dessa progressão:
P.A (12, __,__,...,27)
Com essa nova P.A., temos os seguintes dados:
\(a_1=12\)
\(a_6=27\)
\(n=6\)
Com esses dados, podemos substituí-los na fórmula do termo geral e encontrar a razão r:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(27=12+(6-1)r\)
\(15=5r\)
\(r=3\)
Assim, a razão da nova P.A é r=3, o que de modo análogo será o mesmo que a P.A inicial.
De tal forma, voltando à P.A inicial e tendo os termos \(a_4=12\) e\( r=3\), podemos assim calcular o termo a₃:
\(a_4=a_3+r\)
\(12=a_3+3\)
\(a_3=9\)
Logo, obtemos \(a_3=9.\)
Obs.: este cálculo poderia também ser mostrado através das Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
4) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?
O exercício nos dá uma P.A. no seguinte formato:
P.A.(2,__,__,__,__,__,...,66)
Dessa P.A e do exercício temos os dados abaixo:
r=8
\(a_1=2\)
\( a_{n}=66\)
O que temos que calcular é o n,ou seja, o número de termos entre 2 e 66, podendo isso se calculado pela fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(66=2+(n-1)8\)
\(66-2=8n-8\)
\(64-8=8n\)
\(n=((56)/8)\)
\(n=7\)
Logo, sabemos que a nossa P.A. tem 7 termos, porém o que queremos saber são quantos meios existem entre 2 e 66, assim :
n=7-2
n=5
5) Ache três números em P.A crescente sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
Primeiramente vamos indicar nossa P.A.:
\(P.A. (x-r,x,x+r)\)
Obs.: Para sabermos que a nossa P.A é desse formato basta pensarmos nas Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
Assim, tendo a P.A e os dados do problemas, podemos formar um sistema, onde:
\((x-r)+x+(x+r)=15\) ------ \(3x=15\)
\((x-r)x(x+r)=105\) ---------- \(x(x^2-r^2)=105\)
Resolvendo a primeira parte do sistema, temos:
\(3x=15\)
\(x=5\)
Sabendo que \(x=5\), conseguimos resolver a segunda parte do sistema:
\(x(x^2-r^2)=105\)
\(5(5^2-r^2)=105\)
\(5(25-r^2)=105\)
\(25-r^2=21\)
\(25-21=r^2\)
\(r^2=4\)
\(r=±2\)
Agora vamos verificar para quais valores de r obtemos uma P.A. crescente:
Sendo r=+2 Sendo r=-2
1º termo = x-r=6-(+2)=4 1º termo = x-r=6-(-2)=8
2º termo = x=6 2º termo = x=6
3º termo = x+r=6+(+2)=8 3º termo = x+r=6+(+2)=8
P.A.(4, 6, 8) P.A.(8, 6, 4)
Assim verificado temos que a P.A de termos crescentes pedida onde sua soma é 15 e seu produto é 105 é:
P.A.(4, 6, 8)
6) Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro?
Primeiramente podemos pensar no que cada um desses dados está se referindo dentro de uma Progressão Aritmética. assim podemos começar a escrevê-la:
Os termos de nossa P.A. são as linhas escritas em cada dia, assim \(a_1=20\)
A razão é 5 devido à cada dia escrever o número de linhas do dia anterior mais 5, assim \(r=5\)
Logo podemos pensar na P.A da seguinte maneira:
\(P.A.(20, 25,30,...)\)
Sabendo que o livro tem 17 página e cada página com 25 linha, sabemos o total de linhas do livro, que atribuiremos de \(S_{n}=17×25\) ---- \(S_{n}=425\).
Assim temos:
\(a_1=20\)
\(r=5\)
\(S_{n}=425\)
Como querenos encontrar o n, que será o número de dias, e tendo \(a_1\) e r, substituímos na fórmula do termo geral:
\(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
\(a_{n}=20+(n-1)5\)
\(a_{n}=20+5-n-5\)
\(a_{n}=5-n+15\)
Dessa fórmula ainda não conseguimos sabeo o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro, logo, tendo \(S_{n}=425\), subtituimos o valor encontrado na fórmula da Soma:
\(S_{n}=((a_1+a_n)n)/2\)
\(425=((20+5_n+15)n)/2\)
\(850=(35+5-n)/2\)
\(5_n^2+35_n-850=0\)
Resolvendo essa equação pela fórmula de báskara, encontramos:
\(n=10\) e \(n=16\)
Assim, o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro é \(n=10\).
sábado, 27 de novembro de 2010
Principais conceitos de uma P.A
Progressão Aritmética
É uma sucessão de números um após o outro que seguem um "ritmo definido".
É toda a sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
Por exemplo:
(2,5,8,11,14...)
Nesta sequência, 3 é a razão da progressão aritmética.
5=2+3
8=5+3
11=8+3
14=11+3
Uma progressão aritmética pode ser: crescente, decrescente ou constante.
Exemplos:
(3,4,5,6,7) é uma P.A. crescente, pois r=1>0, ou seja, os elementos estarão em ordem crescente.
(10,8,6,4,...) é uma P.A. decresente, pois r=-2<0, ou seja, os elemtentos estarão em ordem decrescente.
(5,5,5,5) é uma P.A. constante, pois r=0, os elementos serão todos iguais.
Representação de uma P.A
A representação matemática de uma Progressão Aritmética é:
\( a_{n+1}=a_{n}+r\) ou \(a_₂-a_₁=a_₃-a_₂=...=a_{n+1}-a_{n}=r\)
Exemplo:
Calcular r e a₅ na P.A.(3,9,15,21...)
\(a_{n+1}=a_{n}+r\) \(a_₅=a_₄+r\)
9=3+r \(a_₅=21+6\)
r=6 \(a_₅=27\)
Logo, r=6 e \(a_₅=27\)
Considere uma P.A. finita qualquer \((a_₁,a_₂,a_₃,...,a_{n})\) de razão igual a r, sabemos que:
\(a_₂-a_₁=r→a_₂=a_₁+r\)
\(a_₃-a_₂=r→a_₃-a_₁-r=r→a_₃=a_₁+2r\)
\(a_₄-a_₃=r→a_₄-a_₁-2r=r→a_₄=a_₁+3r\)
....
\( a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
Exemplo:
Calcule o 16º termo de uma P.A., sabendo que \(a_₁=-10\); r=3.
\(a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
\(a_₁₆=-10+(16-1)3\)
\(a_₁₆=-10+15.3\)
\(a_₁₆=-10+45\)
\(a_₁₆=35\)
Logo, o 16º termo da P.A. é 35.
Soma dos termos de uma P.A. finita
Se tivermos uma P.A. finita qualquer, usamos a seguinte fórmula para a soma de seus termos:
\(Sn=(((a_₁+a_n)n)/2)\)
Exemplo:
Determine uma P.A. sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que a₈=79.
n=8
\(S_n=324\)
\(a_₈=79\)
\(S_n=(((a_₁+a_n)n)/2)\)
\(324=(((a_₁+79)8)/2)\)
\(324.2=8a_₁+79.8\)
\(648=8a_₁+632\)
\(648-632=8a_₁\)
\(16=8a_₁\)
\( a_₁=((16)/8)= 2\)
Agora precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.
\( a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
79=2+(8-1)r
79=2+7r
79-2=7r
\(r=((77)/7)= 11\)
Então a P.A. fica:
(2,13,24,35,46,57,68,79)
Soma= 2+13+24+35+46+57+68+79= 324
É uma sucessão de números um após o outro que seguem um "ritmo definido".
É toda a sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
Por exemplo:
(2,5,8,11,14...)
Nesta sequência, 3 é a razão da progressão aritmética.
5=2+3
8=5+3
11=8+3
14=11+3
Uma progressão aritmética pode ser: crescente, decrescente ou constante.
Exemplos:
(3,4,5,6,7) é uma P.A. crescente, pois r=1>0, ou seja, os elementos estarão em ordem crescente.
(10,8,6,4,...) é uma P.A. decresente, pois r=-2<0, ou seja, os elemtentos estarão em ordem decrescente.
(5,5,5,5) é uma P.A. constante, pois r=0, os elementos serão todos iguais.
Representação de uma P.A
A representação matemática de uma Progressão Aritmética é:
\( a_{n+1}=a_{n}+r\) ou \(a_₂-a_₁=a_₃-a_₂=...=a_{n+1}-a_{n}=r\)
Exemplo:
Calcular r e a₅ na P.A.(3,9,15,21...)
\(a_{n+1}=a_{n}+r\) \(a_₅=a_₄+r\)
9=3+r \(a_₅=21+6\)
r=6 \(a_₅=27\)
Logo, r=6 e \(a_₅=27\)
Termo Geral de uma Progressão Aritmética
Considere uma P.A. finita qualquer \((a_₁,a_₂,a_₃,...,a_{n})\) de razão igual a r, sabemos que:
\(a_₂-a_₁=r→a_₂=a_₁+r\)
\(a_₃-a_₂=r→a_₃-a_₁-r=r→a_₃=a_₁+2r\)
\(a_₄-a_₃=r→a_₄-a_₁-2r=r→a_₄=a_₁+3r\)
....
\( a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
Exemplo:
Calcule o 16º termo de uma P.A., sabendo que \(a_₁=-10\); r=3.
\(a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
\(a_₁₆=-10+(16-1)3\)
\(a_₁₆=-10+15.3\)
\(a_₁₆=-10+45\)
\(a_₁₆=35\)
Logo, o 16º termo da P.A. é 35.
Soma dos termos de uma P.A. finita
Se tivermos uma P.A. finita qualquer, usamos a seguinte fórmula para a soma de seus termos:
\(Sn=(((a_₁+a_n)n)/2)\)
Exemplo:
Determine uma P.A. sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que a₈=79.
n=8
\(S_n=324\)
\(a_₈=79\)
\(S_n=(((a_₁+a_n)n)/2)\)
\(324=(((a_₁+79)8)/2)\)
\(324.2=8a_₁+79.8\)
\(648=8a_₁+632\)
\(648-632=8a_₁\)
\(16=8a_₁\)
\( a_₁=((16)/8)= 2\)
Agora precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.
\( a_{n}=a_₁+(n-1)r\)
79=2+(8-1)r
79=2+7r
79-2=7r
\(r=((77)/7)= 11\)
Então a P.A. fica:
(2,13,24,35,46,57,68,79)
Soma= 2+13+24+35+46+57+68+79= 324
terça-feira, 23 de novembro de 2010
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