Atividades de aprendizagem classificadas em níveis: baixo, médio e alto

    1) Escreva uma P.A de 8 termos em que \(a_1=6\) e \(r=-4\)
    Para começar temos os seguintes dados:
    \(a_1=6\)
    \(r=-4\)
    E para calcular o segundo termo basta somar o nosso primeiro termo e a razão r  da P.A dada:
    \(a_2=a_1+r\)
    \(a_2=6+(-4)\)
    \(a_2=2\)
     Dessa forma, conseguiremos calcular os próximos 8 termos dessa P.A
    Logo, a nossa P.A será: P.A (6, 2, -2, -6, -10, -14, -18, -22)
         2) Encontre o termo geral da P.A. (2,7,...).
    À partir da P.A dada temos os seguintes dados:
    \(a_1=2\)
    \(a_2=7\)
    \(r=a_2-a_1\)
    \(r=7-2\)
    r=5
    Agora é só aplicar os dados do problema na fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(a_{n}=2+(n-1)5\)
    \(a_{n}=2+5n-5\)
    \(a_{n}=5n-3\)
    Logo, \(a_{n}=5n-3.\)
         3) Numa P.A \(a_4=12\) e \(a_9=27\).Calcule \(a_{3.}\)
     Dos dados que temos, podemos pensar em obter uma P.A em que o nosso a₁ seja o que a quastão nos propõe como \(a_4\) e o \(a_9\) sendo o nosso último termo dessa nova P.A. assim, encontraremos a razão dessa progressão:
    P.A (12, __,__,...,27)
    Com essa nova P.A., temos os seguintes dados:
    \(a_1=12\)
    \(a_6=27\)
    \(n=6\)
    Com esses dados, podemos substituí-los na fórmula do termo geral e encontrar a razão r:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(27=12+(6-1)r\)
    \(15=5r\)
    \(r=3\)
    Assim, a razão da nova P.A é r=3, o que de modo análogo será o mesmo que a P.A inicial.
    De tal forma, voltando à P.A inicial e tendo os termos \(a_4=12\) e\( r=3\), podemos assim calcular o termo a₃:
    \(a_4=a_3+r\)
    \(12=a_3+3\)
    \(a_3=9\)
    Logo, obtemos \(a_3=9.\)
     Obs.: este cálculo poderia também ser mostrado através das Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
         4) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?
    O exercício nos dá uma P.A. no seguinte formato:
    P.A.(2,__,__,__,__,__,...,66)
    Dessa P.A e do exercício temos os dados abaixo:
    r=8
   \(a_1=2\)
   \( a_{n}=66\)
    O que temos que calcular é o n,ou seja, o número de termos entre 2 e 66, podendo isso se calculado pela fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética:
   \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(66=2+(n-1)8\)
    \(66-2=8n-8\)
    \(64-8=8n\)
   \(n=((56)/8)\)
    \(n=7\)
    Logo, sabemos que a nossa P.A. tem 7 termos, porém o que queremos saber são quantos meios existem entre 2 e 66, assim :
    n=7-2
    n=5
         5) Ache três números em P.A crescente sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
    Primeiramente vamos indicar nossa P.A.:
    \(P.A. (x-r,x,x+r)\)
    Obs.: Para sabermos que a nossa P.A é desse formato basta pensarmos nas Observações que facilitam o cálculo de uma P.A.
    Assim, tendo a P.A e os dados do problemas, podemos formar um sistema, onde:
    \((x-r)+x+(x+r)=15\)  ------ \(3x=15\)
    \((x-r)x(x+r)=105\)  ---------- \(x(x^2-r^2)=105\)
    Resolvendo a primeira parte do sistema, temos:
   \(3x=15\)
    \(x=5\)
    Sabendo que \(x=5\), conseguimos resolver a segunda parte do sistema:
    \(x(x^2-r^2)=105\)
    \(5(5^2-r^2)=105\)
    \(5(25-r^2)=105\)
    \(25-r^2=21\)
    \(25-21=r^2\)
    \(r^2=4\)
    \(r=±2\)
     Agora vamos verificar para quais valores de r obtemos uma P.A. crescente:
    Sendo r=+2                                       Sendo r=-2
    1º termo = x-r=6-(+2)=4              1º termo = x-r=6-(-2)=8  
    2º termo = x=6                                   2º termo = x=6
    3º termo = x+r=6+(+2)=8              3º termo = x+r=6+(+2)=8
    P.A.(4, 6, 8)                                          P.A.(8, 6, 4)
     Assim verificado temos que a P.A de termos crescentes pedida onde sua soma é 15 e seu produto é 105 é:
    P.A.(4, 6, 8)
         6) Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro?
    Primeiramente podemos pensar no que cada um desses dados está se referindo dentro de uma Progressão Aritmética. assim podemos começar a escrevê-la:
    Os termos de nossa P.A. são as linhas escritas em cada dia, assim \(a_1=20\)
    A razão é 5 devido à cada dia escrever o número de linhas do dia anterior mais 5, assim \(r=5\)
    Logo podemos pensar na P.A da seguinte maneira:
    \(P.A.(20, 25,30,...)\)
    Sabendo que o livro tem 17 página e cada página com 25 linha, sabemos o total de linhas do livro, que atribuiremos de \(S_{n}=17×25\) ---- \(S_{n}=425\).
    Assim temos:
    \(a_1=20\)
    \(r=5\)
    \(S_{n}=425\)
    Como querenos encontrar o n, que será o número de dias, e tendo \(a_1\) e r, substituímos na fórmula do termo geral:
    \(a_{n}=a_1+(n-1)r\)
    \(a_{n}=20+(n-1)5\)
    \(a_{n}=20+5-n-5\)
    \(a_{n}=5-n+15\)
    Dessa fórmula ainda não conseguimos sabeo o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro, logo, tendo \(S_{n}=425\), subtituimos o valor encontrado na fórmula da Soma:
    \(S_{n}=((a_1+a_n)n)/2\)
    \(425=((20+5_n+15)n)/2\)
    \(850=(35+5-n)/2\)
    \(5_n^2+35_n-850=0\)
    Resolvendo essa equação pela fórmula de báskara, encontramos:
    \(n=10\) e \(n=16\)
    Assim, o número de dias em que o escritor terminou de escrever o livro é \(n=10\).